Homologietheorie

Homologietheorie,

 

Mathematik: ein Teilgebiet der algebraischen Topologie. In der Homologietheorie ordnet man topologischen Räumen abelsche Gruppen so zu, dass homöomorphen Räumen isomorphe Gruppen entsprechen. Dadurch lassen sich topologische Eigenschaften der Räume durch algebraische Eigenschaften der zugehörigen Homologiegruppen ausdrücken.

 

Die simpliziale Homologietheorie geht aus von den simplizialen Zerlegungen topologischer Räume (z. B. der Triangulation einer Fläche im dreidimensionalen euklidischen Raum). Dabei ist ein nulldimensionales Simplex s₀ ein Punkt, ein eindimensionales s₁ eine gerichtete Strecke, ein zweidimensionales s₂ ein orientiertes Dreieck usw. Eine beliebige Menge von Simplexen ist ein Komplex. Mit den in einem Komplex auftretenden Simplexen s_qⁱ der Dimension q und mit ganzen rationalen Zahlen g_i lassen sich formale Summen

 

bilden, die q-Ketten genannt werden. Definiert man die Summe zweier q-Ketten durch die Addition einander entsprechender Koeffizienten g_i, so bilden diese q-Ketten eine abelsche Gruppe C_q. Der Rand einer von s¹₀ nach s²₀ gerichteten Strecke s¹₁ ist die 0-Kette

 

Analog ist der Rand des orientierten Dreiecks s₂¹ die 1-Kette ds¹₂ = s¹₁ + s²₁ + s³₁. Allgemeiner definiert man den Rand dc_q der q-Kette c_q als die (q — 1)-Kette

 

Man kann beweisen, dass die nochmalige Anwendung der Randbildung auf das 0-Element der Gruppe C_q führt, d. h., dass ddc_q = 0 für alle q-Ketten c_q ist. Diejenigen q-Ketten, deren Rand 0 ist, werden als Zykeln bezeichnet. Sie bilden eine Untergruppe Z_q der Gruppe C_q. Diejenigen q-Ketten, die den Rand einer (q + 1)-Kette bilden, nennt man Ränder. Sie bilden eine Untergruppe B_q der Gruppe der q-Zykeln Z_q. Die Faktorgruppe H_q = Z_q / B_q (Faktorgruppe) ist die q-te Homologiegruppe. In der Homologiegruppe werden also homologe Zykeln miteinander identifiziert. Man kann zeigen, dass die algebraische Struktur dieser Gruppen für 0, 1, 2,. .. unabhängig von der genügend feinen simplizialen Approximation des topologischen Raumes und für zwei Räume gleicher topologischer Struktur dieselbe ist.

 

Eine modernere Fassung ist die singuläre Homologietheorie, die nicht mehr mit simplizialen Approximationen arbeitet, sondern mit allgemeiner definierten Kettenkomplexen. Die axiomatische Charakterisierung der Homologie (1945) hat viele weitere Beispiele für Homologietheorien ermöglicht. - Dual zur Homologietheorie gelangt man zur Co-Homologietheorie, indem man als q-Co-Kette c^q einen Homomorphismus c^q der Gruppe C_q der q-Ketten in die additive Gruppe der ganzen rationalen Zahlen definiert und eine Co-Randbildung einführt.

 

Der Homologiebegriff geht auf H. Poincaré (1895) zurück, der auch die simpliziale Homologietheorie entwickelt hat. Die singuläre Homologietheorie entstand ab 1935.

 

Literatur:

 

M. Bollinger: Geschichtl. Entwicklung des Homologiebegriffs, in: Archive for history of exact sciences, Jg. 9 (Berlin 1972);

 E. Ossa: Topologie (1992).